Functions and Their Graphs
เรียนรู้แนวคิดพื้นฐานของ Calculus ผ่านภาพและการโต้ตอบ
นิยามของฟังก์ชัน
Domain, Range, กฎการจับคู่
กราฟของฟังก์ชัน
Vertical Line Test, Symmetry
Combining & Transformations
f+g · f∘g · Shift · Scale
Trigonometric Functions
Unit Circle · sin · cos · tan
ประเภทของฟังก์ชัน
Linear, Poly, Trig, Exp, Log
Function Plotter
พิมพ์สมการ ดูกราฟทันที
แบบฝึกหัด
ทดสอบความเข้าใจ 8 ข้อ
Function คืออะไร?
ก่อนจะเข้าสู่ Calculus (Limit, Derivative, Integral) เราต้องเข้าใจ Function ให้ดีก่อน เพราะ Calculus คือการศึกษา การเปลี่ยนแปลง ของฟังก์ชัน
- Function คืออะไร และนิยาม
- Domain และ Range
- กราฟและการอ่านกราฟ
- Piecewise Functions
- Derivative = อัตราการเปลี่ยนแปลงของ f(x)
- Integral = พื้นที่ใต้กราฟ f(x)
- Limit = พฤติกรรมของ f(x) เมื่อ x→a
- ทุกอย่างใน Calculus เริ่มจากฟังก์ชัน
แผนภาพ Function Machine
1.1 นิยามของฟังก์ชัน
ฟังก์ชัน (Function) จาก set D ไปยัง set Y คือ กฎที่นำ ทุก element x ใน D ไปสู่ element หนึ่งตัวเดียว f(x) ใน Y
f : D → Y x ↦ f(x)
Domain และ Range
เซตของ input ทั้งหมดที่ฟังก์ชันรับได้
เซตของ output ทั้งหมดที่เกิดขึ้นจริง
"1 input ต้องได้ output เดียวเท่านั้น"
การหา Domain
| ฟังก์ชัน | ข้อจำกัด | Domain |
|---|---|---|
f(x) = x² | ไม่มีข้อจำกัด | (-∞, +∞) |
f(x) = 1/x | x ≠ 0 | (-∞,0)∪(0,+∞) |
f(x) = √x | x ≥ 0 | [0, +∞) |
f(x) = ln(x) | x > 0 | (0, +∞) |
f(x) = √(4−x²) | |x| ≤ 2 | [-2, 2] |
Domain & Range เชิงภาพ
คลิกเพื่อดู Domain & Range
Piecewise Functions (ฟังก์ชันแบบแบ่งส่วน)
−x ถ้า x < 0 }
1.2 กราฟของฟังก์ชัน
กราฟของ f คือเซตของคู่อันดับ (x, f(x)) สำหรับทุก x ใน Domain
Vertical Line Test
กราฟเป็นกราฟของฟังก์ชัน ก็ต่อเมื่อ เส้นตั้งทุกเส้นตัดกราฟ ไม่เกิน 1 จุด
เลื่อน Slider เพื่อทดสอบ Vertical Line Test
Symmetry (ความสมมาตร)
f(−x) = f(x)
f(−x) = −f(x)
ความสมมาตรของฟังก์ชัน
Increasing / Decreasing
ฟังก์ชันเดียวกันอาจ เพิ่ม ในบางช่วงและ ลด ในช่วงอื่น — เราพูดถึง increasing/decreasing เสมอโดยอ้างอิง ช่วง ที่กำหนด ไม่ใช่ทั้งกราฟ
x₁ < x₂ ⟹ f(x₁) < f(x₂)
เมื่อ x เพิ่มขึ้น ค่า f(x) เพิ่มขึ้นตาม — กราฟ ไต่ขึ้นจากซ้ายไปขวา
x₁ < x₂ ⟹ f(x₁) > f(x₂)
เมื่อ x เพิ่มขึ้น ค่า f(x) กลับลดลง — กราฟลาดลงจากซ้ายไปขวา
↑ Increasing บน (-∞, −1) และ (1, +∞)
↓ Decreasing บน (−1, 1)
จุดเปลี่ยนที่ x = −1 → Local Max = 2
จุดเปลี่ยนที่ x = 1 → Local Min = −2
หมายเหตุ: จุดเปลี่ยนระหว่าง increasing/decreasing คือ "Local Extremum" — จะศึกษาละเอียดใน Chapter IV (Applications of Derivatives)
1.2 การรวมฟังก์ชันและการแปลงกราฟ
เมื่อมีฟังก์ชัน f และ g เราสามารถสร้างฟังก์ชันใหม่ได้หลายวิธี ทั้งทางพีชคณิตและการประกอบ
การดำเนินการทางพีชคณิต (Arithmetic Combinations)
D(f+g) = D(f-g) = D(f·g) = D(f) ∩ D(g)
D(f/g) = D(f) ∩ D(g) ∖ {x : g(x)=0}
ต้องอยู่ใน Domain ของทั้งสองฟังก์ชัน และ f/g ต้อง g ≠ 0
เลือก f(x) และ operation — g(x) = x + 1 (เส้นประสีเขียว)
การประกอบฟังก์ชัน (Composition)
(f ∘ g)(x) = f(g(x))
อ่านว่า "f composed with g" — นำ output ของ g เป็น input ของ f
(f ∘ g)(x) = f(g(x)) = f(x+1) = (x+1)² = x²+2x+1
(g ∘ f)(x) = g(f(x)) = g(x²) = x² + 1
⚠ f∘g ≠ g∘f โดยทั่วไป — Composition ไม่ Commutative
D(f ∘ g) = { x ∈ D(g) : g(x) ∈ D(f) }
x ต้องอยู่ใน Domain ของ g ก่อน (เพื่อคำนวณ g(x) ได้) แล้ว ค่า g(x) ที่ได้ต้องอยู่ใน Domain ของ f ด้วย — Domain ของฟังก์ชันประกอบจึงมัก แคบลง กว่า Domain ของ g
(f ∘ g)(x) = f(x−3) = √(x−3)
ต้องการ x − 3 ≥ 0 ⟹ D(f∘g) = [3, ∞) — แม้ว่า D(g) = ℝ ทั้งเส้น แต่ Domain ของ composite แคบลงเหลือเพียง x ≥ 3
การเลื่อนกราฟ (Shifting)
y = f(x) + k
k > 0 → เลื่อนขึ้น k หน่วย
k < 0 → เลื่อนลง |k| หน่วย
y = f(x − h)
h > 0 → เลื่อนขวา h หน่วย
h < 0 → เลื่อนซ้าย |h| หน่วย
เลื่อน Slider เพื่อดูการเลื่อนกราฟ (เส้นประ = ฟังก์ชันเดิม f(x))
การยืด/บีบและสะท้อนกราฟ (Scaling & Reflection)
y = c · f(x)
c > 1 → ยืดแนวตั้ง (stretch)
0 < c < 1 → บีบแนวตั้ง (compress)
c < 0 → สะท้อนผ่านแกน x
y = f(c · x)
c > 1 → บีบแนวนอน (compress)
0 < c < 1 → ยืดแนวนอน (stretch)
c < 0 → สะท้อนผ่านแกน y
การแปลงแนวตั้ง (เช่น f(x)+k, c·f(x)) กระทำ กับค่า output โดยตรง จึงเป็นไปตามที่คาด — บวก k ก็เลื่อนขึ้น k หน่วย
แต่การแปลงแนวนอนกระทำ กับ input ก่อนเข้า f เราจึงต้องถามว่า "x ต้องเป็นเท่าไรเพื่อให้ในวงเล็บมีค่าเท่าเดิม" — ใน f(x−h) เมื่อ h>0 ต้องใช้ x ที่ มากขึ้น เพื่อชดเชย กราฟจึงเลื่อน ขวา; และใน f(cx) เมื่อ c>1 ใช้ x น้อยลง ก็ถึงค่าเดิม กราฟจึง บีบเข้า ทุกอย่างจึงดู "กลับด้าน" กับการแปลงแนวตั้ง
y = a · f(b(x − h)) + k (เส้นประ = ฟังก์ชันเดิม)
ลำดับการแปลง (Order Matters)
เมื่อมีหลายการแปลงพร้อมกันใน y = a·f(b(x − h)) + k ลำดับการทำมีผลต่อผลลัพธ์ — ทำ แนวนอน (h, b) ก่อน แล้วค่อย แนวตั้ง (a, k) และภายในแต่ละแนวทำ scale ก่อน shift
- เลื่อนแนวนอน (x−1): พาราโบลาเลื่อนขวา 1 → จุดยอดที่ x = 1
- ยืดแนวตั้ง ×2: กราฟชันขึ้นสองเท่า
- สะท้อนแกน x (เครื่องหมายลบ): พาราโบลาคว่ำลง
- เลื่อนแนวตั้ง +3: จุดยอดขยับไปอยู่ที่ (1, 3)
ลองสลับลำดับดู เช่น เลื่อนแนวตั้ง +3 ก่อนแล้วค่อยสะท้อน จะได้กราฟคนละรูป — ลำดับจึงสำคัญ
สรุป: การแปลงกราฟ
| การแปลง | สูตร | ผล |
|---|---|---|
| Shift ขึ้น k หน่วย | f(x) + k | เลื่อนขึ้น |
| Shift ขวา h หน่วย | f(x − h) | เลื่อนขวา |
| Vertical stretch | c·f(x), c>1 | ยืดแนวตั้ง |
| Vertical compress | c·f(x), 0<c<1 | บีบแนวตั้ง |
| Reflect แกน x | −f(x) | สะท้อน |
| Horizontal compress | f(cx), c>1 | บีบแนวนอน |
1.3 ฟังก์ชันตรีโกณมิติ (Trigonometric Functions)
วงกลมรัศมี 1 ที่จุดกำเนิด x² + y² = 1 สำหรับมุม θ จุดบนวงกลมคือ (cos θ, sin θ)
Unit Circle — เลื่อน Slider เพื่อเปลี่ยนมุม θ
ฟังก์ชันตรีโกณมิติทั้ง 6
| ฟังก์ชัน | นิยาม | Domain | Range | Period |
|---|---|---|---|---|
| sin(x) | y-coord บน unit circle | ℝ | [−1, 1] | 2π |
| cos(x) | x-coord บน unit circle | ℝ | [−1, 1] | 2π |
| tan(x) | sin(x)/cos(x) | x ≠ π/2+nπ | ℝ | π |
| csc(x) | 1/sin(x) | x ≠ nπ | (−∞,−1]∪[1,∞) | 2π |
| sec(x) | 1/cos(x) | x ≠ π/2+nπ | (−∞,−1]∪[1,∞) | 2π |
| cot(x) | cos(x)/sin(x) | x ≠ nπ | ℝ | π |
กราฟฟังก์ชันตรีโกณมิติ — เลือกฟังก์ชัน
การแปลงฟังก์ชัน Sine: y = A sin(Bx + C) + D
A = Amplitude (ระยะสูงสุดจากแกน x)
B = ความถี่ Period T = 2π/|B|
C = Phase shift ซ้าย/ขวา −C/B
D = Vertical shift
A = 2 → สูงสุด/ต่ำสุด ±2
B = 3 → Period = 2π/3 ≈ 2.09
C = −π → Phase shift = π/3 ขวา
D = 1 → เลื่อนขึ้น 1 หน่วย
y = A sin(Bx + C) + D (เส้นประ = sin(x) เดิม)
สูตรตรีโกณมิติที่สำคัญ
1.3 ประเภทของฟังก์ชัน
1. Linear Function
f(x) = mx + b (m = slope, b = y-intercept)
2. Polynomial Function
p(x) = aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + … + a₁x + a₀
3. Rational Function
อัตราส่วนของ polynomial สองตัว — มักมี Asymptote
4. Trigonometric Functions
5. Exponential & Logarithmic
f(x) = aˣ, a > 0, a ≠ 1 (e ≈ 2.718)
f(x) = logₐ(x) ln = log_e
สรุป
| ประเภท | รูปแบบ | Domain | ลักษณะ |
|---|---|---|---|
| Linear | mx+b | ℝ | เส้นตรง |
| Polynomial | aₙxⁿ+… | ℝ | smooth curve |
| Rational | p(x)/q(x) | q≠0 | มี Asymptote |
| sin, cos | sin(x), cos(x) | ℝ | Period 2π |
| Exponential | aˣ | ℝ | เพิ่มเร็วมาก |
| Logarithmic | logₐ(x) | (0,∞) | Inverse ของ exp |
Function Plotter
พิมพ์สมการ แล้วกด Enter หรือปุ่ม Plot
ตัวอย่าง
วิธีเขียนสมการ
| ต้องการ | พิมพ์ |
|---|---|
| x² | x*x |
| sin(x) | Math.sin(x) |
| √x | Math.sqrt(x) |
| eˣ | Math.exp(x) |
| ln(x) | Math.log(x) |
| |x| | Math.abs(x) |