Thomas Calculus · Chapter II

Limits and Continuity

แนวคิดหัวใจของ Calculus — อธิบายพฤติกรรมของฟังก์ชันเมื่อ x เข้าใกล้ค่าหนึ่ง

2.1 อัตราการเปลี่ยนแปลง

Secant Line → Tangent Line

2.2 Limit ของฟังก์ชัน

นิยาม Limit และ Epsilon-Delta

2.3 กฎของ Limit

Sum · Product · Quotient Laws

2.4 One-Sided Limits

lim⁻ และ lim⁺

2.5 ความต่อเนื่อง

Continuity · Discontinuity Types · IVT

2.6 Limits at Infinity

Asymptotes · Squeeze Theorem

แบบฝึกหัด

ทดสอบความเข้าใจ 8 ข้อ

Limit คืออะไร?

Limit บอกว่า f(x) เข้าใกล้ค่าอะไร เมื่อ x เข้าใกล้ c — โดยไม่สนว่า f(c) มีค่าหรือไม่

แนวคิดหลัก Chapter II

Average Rate → Instantaneous Rate
Limit: lim_x→c f(x) = L
Limit Laws — คำนวณ Limit ได้ง่ายขึ้น
One-Sided Limits: lim⁻ และ lim⁺
Continuity และ IVT
Limits at Infinity → Asymptotes

ทำไม Limit ถึงสำคัญ?

Derivative = lim_{h→0} (f(a+h)−f(a))/h
Integral = lim ของ Riemann Sum
Taylor Series ต้องใช้ Limit
ทุกอย่างใน Calculus สร้างจาก Limit

ภาพรวม — x เข้าใกล้ c

← Chapter I: Functions 1 / 8

2.1 Rates of Change & Tangent Lines

Average Rate of Change

อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ย ของ f บนช่วง [a, a+h] คือ slope ของ Secant Line

Δf/Δx = (f(a+h) − f(a)) / h

Secant Line → Tangent Line

เมื่อ h → 0 Secant Line จะกลายเป็น Tangent Line ที่จุด (a, f(a)) — นี่คือที่มาของ Derivative

เลื่อน h เพื่อดู Secant → Tangent (f(x) = x², a = 1)

h = 2.50

ตารางอัตราการเปลี่ยนแปลง — f(x) = x², a = 1

h	(f(1+h) − f(1)) / h	ค่าที่ได้
1.0	(4 − 1) / 1	3.000
0.5	(2.25 − 1) / 0.5	2.500
0.1	(1.21 − 1) / 0.1	2.100
0.01	(1.0201 − 1) / 0.01	2.010
0.001	(1.002001 − 1) / 0.001	2.001
→ 0	lim_{h→0} (2 + h)	→ 2

Slope ของ Tangent Line

m_tan = lim_h→0 (f(a+h) − f(a)) / h = f'(a) (Derivative)

สำหรับ f(x) = x², a = 1: m_tan = lim_h→0(2+h) = 2

ความหมายทางฟิสิกส์

Average Velocity

ถ้า s(t) = ระยะทาง → v_avg = Δs/Δt

Instantaneous Velocity

v(t) = lim_Δt→0 Δs/Δt = s'(t)

2 / 8

2.2 Limit of a Function

Definition — Informal

ถ้า f(x) เข้าใกล้ค่า L เมื่อ x เข้าใกล้ c (แต่ x ≠ c) เราเขียนว่า:

lim_x→c f(x) = L

f(c) ไม่จำเป็นต้องมีค่า — Limit สนใจเฉพาะพฤติกรรม ใกล้ c เท่านั้น

การเข้าใกล้จากทั้งสองฝั่ง

เลื่อน x เพื่อดูการเข้าใกล้ — f(x) = (x²−1)/(x−1)

x =

Epsilon-Delta Definition

Definition — Formal (ε-δ)

lim_x→c f(x) = L ก็ต่อเมื่อ สำหรับทุก ε > 0 มี δ > 0 ที่ทำให้:

0 < |x − c| < δ ⟹ |f(x) − L| < ε

Epsilon-Delta: f(x) = 2x, c = 1, L = 2 — ลอง δ เพื่อดู ε

δ =

Limits ที่ไม่มีค่า (DNE — Does Not Exist)

กรณีที่ Limit DNE

lim⁻ ≠ lim⁺ (jump)
f(x) → ±∞ (vertical asymptote)
f(x) สั่นไม่หยุด เช่น sin(1/x) ที่ x→0

ตัวอย่าง

lim_x→0 |x|/x = DNE

lim⁻ = −1, lim⁺ = +1 → ไม่เท่ากัน

3 / 8

2.3 Limit Laws

ถ้า lim_x→c f(x) = L และ lim_x→c g(x) = M แล้ว:

กฎ	สูตร	ตัวอย่าง (f→3, g→2, c=1)
Sum	lim(f+g) = L + M	3 + 2 = 5
Difference	lim(f−g) = L − M	3 − 2 = 1
Constant Multiple	lim(k·f) = k·L	4·3 = 12
Product	lim(f·g) = L · M	3 · 2 = 6
Quotient	lim(f/g) = L/M (M≠0)	3 / 2 = 1.5
Power	lim(fⁿ) = Lⁿ	3² = 9
Root	lim(√f) = √L (L≥0)	√9 = 3

Direct Substitution Property

Theorem

ถ้า f เป็น polynomial หรือ rational function และ c อยู่ใน domain แล้ว:

lim_x→c f(x) = f(c)

การคำนวณ Limit แบบ 0/0

เมื่อ Direct Substitution ให้ 0/0 ต้อง แยกตัวประกอบ / ตัดออก ก่อน

เลือกตัวอย่างการคำนวณ Limit

Squeeze Theorem (เบื้องต้น)

Squeeze / Sandwich Theorem

ถ้า g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) ใกล้ c และ lim g = lim h = L แล้ว lim f = L ด้วย

ตัวอย่างคลาสสิก: lim_x→0 sin(x)/x = 1 — พิสูจน์ใน §2.6

4 / 8

2.4 One-Sided Limits

Left-Hand Limit

lim_x→c⁻ f(x) = L

x เข้าใกล้ c จากซ้าย (x < c)

Right-Hand Limit

lim_x→c⁺ f(x) = L

x เข้าใกล้ c จากขวา (x > c)

Theorem — Existence of Limit

lim_x→c f(x) = L ก็ต่อเมื่อ lim_x→c⁻ f(x) = L และ lim_x→c⁺ f(x) = L

ภาพ: Jump Discontinuity — lim⁻ ≠ lim⁺

เลื่อน slider เพื่อดูการเข้าใกล้ c = 1 จากทั้งสองฝั่ง

← จากซ้าย จากขวา →

ตัวอย่าง One-Sided Limits

ฟังก์ชัน	lim⁻	lim⁺	lim (two-sided)
f(x) = \|x\|/x, c = 0	−1	+1	DNE
f(x) = ⌊x⌋, c = 2	1	2	DNE
f(x) = √x, c = 0	N/A	0	0 (one-sided)
f(x) = x², c = 3	9	9	9

5 / 8

2.5 Continuity

Definition — Continuous at c

f ต่อเนื่องที่ c ก็ต่อเมื่อ ทั้ง 3 เงื่อนไข เป็นจริง:

f(c) มีค่า (defined)
lim_x→c f(x) มีค่า (exists)
lim_x→c f(x) = f(c)

ประเภทของ Discontinuity

คลิกเพื่อดูแต่ละประเภท

Removable Discontinuity

Limit มีค่า แต่ f(c) ไม่มีค่า หรือ f(c) ≠ Limit

แก้ได้ด้วยการ นิยามใหม่ ที่จุด c

Jump Discontinuity

lim⁻ ≠ lim⁺ → กราฟ "กระโดด" ที่จุด c

พบบ่อยใน Piecewise Functions

Intermediate Value Theorem (IVT)

IVT — Intermediate Value Theorem

ถ้า f ต่อเนื่องบน [a, b] และ N อยู่ระหว่าง f(a) กับ f(b) แล้ว มี c ∈ (a,b) ที่ f(c) = N

IVT: f(x) = x³ − x − 1 บน [0, 2] — มี root อยู่ที่ไหน?

ค่า N =

6 / 8

2.6 Limits Involving Infinity & Asymptotes

Limit at Infinity

lim_x→+∞ f(x) = L หมายความว่า f(x) เข้าใกล้ L เมื่อ x ใหญ่มาก

→ Horizontal Asymptote y = L

Infinite Limit

lim_x→c f(x) = ∞ หมายความว่า f(x) ไม่มีขอบเขตเมื่อ x→c

→ Vertical Asymptote x = c

Horizontal & Vertical Asymptotes

คลิกเพื่อดู Asymptote ของแต่ละฟังก์ชัน

กฎการคำนวณ Limits at Infinity

Limit	ค่า	หมายเหตุ
lim_x→∞ 1/xⁿ	0	n > 0
lim_x→∞ xⁿ	+∞	n > 0
lim_x→∞ eˣ	+∞
lim_x→∞ e⁻ˣ	0
lim_x→∞ ln(x)	+∞	ช้ามาก
lim_x→∞ aₙxⁿ/bₘxᵐ	ดูที่ degree	n<m → 0, n>m → ±∞, n=m → aₙ/bₘ

Squeeze Theorem — sin(x)/x

Squeeze Theorem: −1 ≤ sin(x) ≤ 1 → −1/|x| ≤ sin(x)/x ≤ 1/|x| → 0

7 / 8

แบบฝึกหัด Chapter II

8 / 8 Chapter III: Derivatives →