Applications of Integrals
นำ Integral ไปใช้คำนวณพื้นที่ระหว่างกราฟ, ปริมาตรของ Solid of Revolution, ความยาวส่วนโค้ง และพื้นที่ผิว
6.1 Area Between Curves
∫[f(x)−g(x)]dx — พื้นที่ระหว่างสองกราฟ
6.2 Disk & Washer Method
V = π∫[f²−g²]dx — หมุนรอบแกน
6.3 Shell Method
V = 2π∫x·f(x)dx — กระบอกบาง
6.4 Arc Length
L = ∫√(1+[f']²)dx — ความยาวส่วนโค้ง
6.5 Surface Area
S = 2π∫f(x)√(1+[f']²)dx
แบบฝึกหัด
ทดสอบความเข้าใจ 8 ข้อ
สูตรสำคัญ
f(x) ≥ g(x) บน [a,b]
หมุนรอบแกน x
หมุนรอบแกน y
ภาพรวม — พื้นที่ระหว่างสองกราฟ
6.1 Area Between Curves
ถ้า f(x) ≥ g(x) บน [a, b] แล้ว
ถ้ากราฟตัดกัน ให้หาจุดตัดก่อน แล้วแบ่ง Integral ตามช่วง
หาพื้นที่ระหว่าง f(x)=x² และ g(x)=x
จุดตัด: x²=x → x=0, x=1
A = ∫₀¹ (x−x²) dx = [x²/2−x³/3]₀¹ = 1/6
f(x)=cos x, g(x)=sin x บน [0,π]
จุดตัด: x=π/4
A = ∫₀^(π/4)(cos−sin)dx + ∫_(π/4)^π(sin−cos)dx
Area Between Curves — เลื่อน a, b และเลือกคู่ฟังก์ชัน
6.2 Volume: Disk and Washer Method
แต่ละแผ่นบางๆ เป็นวงกลมรัศมี f(x)
Washer = Disk ใหญ่ − Disk เล็ก
f(x)=√x หมุนรอบแกน x บน [0,4]
V = π∫₀⁴ x dx = π[x²/2]₀⁴ = 8π ≈ 25.13
f(x)=√x, g(x)=x บน [0,1]
V = π∫₀¹(x−x²)dx = π[x²/2−x³/3]₀¹ = π/6
Disk & Washer Visualizer — หน้าตัด 2D (แกน x อยู่แนวนอน)
6.3 The Shell Method
แต่ละ Shell คือกระบอกบางรัศมี x สูง f(x) ความหนา dx
Disk/Washer — หมุนรอบแกน x, slice ⊥ แกน x
Shell — หมุนรอบแกน y, slice ∥ แกน y
ให้ผลลัพธ์เดียวกัน แต่บางกรณี Shell ง่ายกว่า
f(x)=x−x² หมุนรอบแกน y บน [0,1]
V = 2π∫₀¹ x(x−x²)dx = 2π∫₀¹(x²−x³)dx
= 2π[x³/3−x⁴/4]₀¹ = 2π/12 = π/6
Shell Method — กระบอกบาง (Shell) ที่รัศมี x
6.4 Arc Length
มาจาก Pythagoras: ds = √(dx² + dy²) = √(1+(dy/dx)²) dx
แบ่งเส้นโค้งเป็น n ส่วนสั้นๆ
Δs ≈ √(Δx² + Δy²) = √(1+(Δy/Δx)²)·Δx
L = lim Σ Δs = ∫√(1+[f']²)dx
f(x)=x^(3/2), [0,4]
f'(x)=(3/2)√x
L = ∫₀⁴ √(1+(9x/4))dx = ≈ 9.073
Arc Length Approximation — n ส่วนตรง
6.5 Area of a Surface of Revolution
f(x) = รัศมีจากแกน, √(1+[f']²)dx = ความยาวส่วนเล็กของเส้นโค้ง
f(x)=√(r²−x²) หมุนรอบแกน x
f'(x)=−x/√(r²−x²)
1+[f']² = r²/(r²−x²)
S = 2π∫₋ᵣʳ √(r²−x²)·(r/√(r²−x²))dx
= 2πr∫₋ᵣʳ dx = 4πr² ✓
f(x)=x หมุนรอบแกน x บน [0,h]
f'(x)=1, √(1+1)=√2
S = 2π∫₀ʰ x·√2 dx = 2π√2·h²/2
= π√2·h²
Surface Area — แถบพื้นผิวหมุน (2D cross section)
แบบฝึกหัด — Chapter 6: Applications of Integrals
เลือกคำตอบที่ถูกต้อง — ระบบจะแสดงคำอธิบายทันที