Chapter V  ›  Integrals
S sidebar ← → navigate F fullscreen
Thomas Calculus · Chapter V

Integrals

การอินทิเกรต — หาพื้นที่ใต้กราฟ, Antiderivative, Riemann Sum และ Fundamental Theorem of Calculus

5.1 Antiderivatives

นิยามและกฎพื้นฐานของ Indefinite Integral

5.2 Riemann Sums

ประมาณพื้นที่ด้วยสี่เหลี่ยม Left/Right/Midpoint

5.3 Definite Integrals

พื้นที่สุทธิและคุณสมบัติของ Definite Integral

5.4 Fundamental Theorem

สะพานเชื่อม Derivative กับ Integral

5.5 U-Substitution

Chain Rule ย้อนกลับสำหรับการ Integrate

Integral Calculator

คำนวณ Definite Integral เชิงตัวเลข

แบบฝึกหัด

ทดสอบความเข้าใจ 8 ข้อ

Integral คืออะไร?

Indefinite Integral (Antiderivative)
∫ f(x) dx = F(x) + C

F'(x) = f(x) — ฟังก์ชันที่ Derivative เท่ากับ f

Definite Integral (พื้นที่)
∫ab f(x) dx = F(b) − F(a)

พื้นที่สุทธิใต้กราฟ f จาก a ถึง b

ภาพรวม — พื้นที่ใต้กราฟและ Riemann Approximation

← Chapter IV: Applications of Derivatives 1 / 8

5.1 Antiderivatives and Indefinite Integrals

นิยาม — Antiderivative

F เป็น Antiderivative ของ f บน interval I ถ้า F'(x) = f(x) สำหรับทุก x ใน I

ถ้า F เป็น Antiderivative ของ f แล้ว F + C ก็เป็นด้วย (C คือ arbitrary constant)

กฎพื้นฐาน (Basic Integration Rules)

Power Rule
∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C  (n ≠ −1)

∫ x² dx = x³/3 + C
∫ x⁻² dx = −x⁻¹ + C

Trig & Exponential

∫ cos x dx = sin x + C
∫ sin x dx = −cos x + C
∫ eˣ dx = eˣ + C
∫ 1/x dx = ln|x| + C

Constant Multiple & Sum

∫ k·f(x) dx = k · ∫ f(x) dx
∫ [f(x) ± g(x)] dx = ∫f dx ± ∫g dx

ตัวอย่าง

∫ (3x² + 2x) dx = x³ + x² + C
∫ (sin x − 5) dx = −cos x − 5x + C
∫ √x dx = (2/3)x^(3/2) + C

f(x) และ Antiderivative F(x) — เลือกฟังก์ชัน

2 / 8

5.2 Riemann Sums

นิยาม — Riemann Sum

แบ่ง [a, b] เป็น n ช่วงย่อย แต่ละช่วงกว้าง Δx = (b−a)/n

Sₙ = Σᵢ f(xᵢ*) · Δx

xᵢ* คือจุดตัวแทนในแต่ละช่วง (ซ้าย, ขวา, หรือกลาง)

Left Riemann Sum (LRS)

ใช้ซ้ายสุดของแต่ละช่วง: xᵢ* = a + (i−1)Δx

Right Riemann Sum (RRS)

ใช้ขวาสุดของแต่ละช่วง: xᵢ* = a + i·Δx

Midpoint Rule

ใช้กึ่งกลางของแต่ละช่วง: xᵢ* = a + (i−½)Δx

Limit → Definite Integral

∫ab f(x) dx = limn→∞ Σ f(xᵢ*)Δx

Riemann Sum Visualizer

n = f =
3 / 8

5.3 The Definite Integral

นิยาม — Definite Integral
∫ab f(x) dx = limn→∞ Σi=1n f(xᵢ*)·Δx

ค่านี้คือ พื้นที่สุทธิ — ส่วนที่ f > 0 บวก, ส่วนที่ f < 0 ลบ

คุณสมบัติของ Definite Integral

Linearity

∫ab [f+g] dx = ∫f dx + ∫g dx
∫ab c·f dx = c · ∫ab f dx

Interval Properties

∫aa f dx = 0
∫ab f dx = −∫ba f dx
∫ab + ∫bc = ∫ac f dx

Comparison

f ≥ 0 บน [a,b] → ∫ab f dx ≥ 0
f ≥ g → ∫ab f dx ≥ ∫ab g dx

Mean Value (Integral)

ค่าเฉลี่ยของ f บน [a,b]:
favg = (1/(b−a)) ∫ab f dx

พื้นที่สุทธิ — เลื่อน a, b และเลือกฟังก์ชัน

a = b =
4 / 8

5.4 The Fundamental Theorem of Calculus

FTC Part 1 — Derivative ของ Integral

ถ้า f ต่อเนื่องบน [a, b] และ G(x) = ∫ax f(t) dt แล้ว

G'(x) = f(x)

G คือ Antiderivative ของ f — หา Integral แล้ว Differentiate ได้ f กลับมา

FTC Part 2 — การคำนวณ Definite Integral

ถ้า F เป็น Antiderivative ของ f (F' = f) แล้ว

∫ab f(x) dx = F(b) − F(a) = [F(x)]ab

สะพานเชื่อมระหว่าง Differential Calculus และ Integral Calculus

ตัวอย่างการใช้ FTC Part 2

∫02 x² dx

F(x) = x³/3
= [x³/3]02 = 8/3 − 0 = 8/3 ≈ 2.667

∫0π sin(x) dx

F(x) = −cos(x)
= [−cos(x)]0π = 1 + 1 = 2

∫1e (1/x) dx

F(x) = ln|x|
= [ln x]1e = 1 − 0 = 1

Chain Rule + FTC1

d/dx [∫ax² f(t) dt]
= f(x²) · 2x

FTC — G(x) = ∫0x f(t) dt สะสมพื้นที่เมื่อ x เพิ่มขึ้น

x =
5 / 8

5.5 The Substitution Rule

Substitution Rule (U-Sub)

ถ้า u = g(x) แล้ว du = g'(x) dx

∫ f(g(x))·g'(x) dx = ∫ f(u) du

เป็นการกลับของ Chain Rule — มองหา inner function ที่ Derivative ปรากฏอยู่

ขั้นตอนการทำ U-Substitution

ขั้นตอน
  1. เลือก u = g(x) (inner function)
  2. คำนวณ du = g'(x) dx
  3. แทน x ทุกตัวด้วย u (รวมถึง dx)
  4. Integrate เทียบกับ u
  5. แทน u กลับด้วย g(x)

ตัวอย่าง U-Substitution — ขั้นตอนละเอียด

Definite Integral กับ U-Sub

เปลี่ยน Limits ด้วย

∫ab f(g(x))g'(x) dx = ∫g(a)g(b) f(u) du
ตัวอย่าง: ∫01 2x(x²+1)⁴ dx → u=x²+1, u(0)=1, u(1)=2
= ∫12 u⁴ du = [u⁵/5]12 = 32/5 − 1/5 = 31/5 = 6.2

6 / 8

Numerical Integral Calculator

คำนวณ ∫ab f(x) dx ด้วย Simpson's Rule (เชิงตัวเลข)

7 / 8

แบบฝึกหัด — Chapter 5: Integrals

เลือกคำตอบที่ถูกต้อง — ระบบจะแสดงคำอธิบายทันที

8 / 8 Chapter VI: Applications of Integrals →