Chapter VIII  ›  Techniques of Integration
S sidebar ← → navigate F fullscreen
Thomas Calculus · Chapter VIII

Techniques of Integration

เทคนิคการอินทิเกรตขั้นสูง — Integration by Parts, Trig Integrals, Trig Sub, Partial Fractions และ Improper Integrals

8.1 Integration by Parts

∫ u dv = uv − ∫ v du

8.2 Trig Integrals

∫ sinᵉ cosⁿ dx, ∫ tanᵉ secⁿ dx

8.3 Trig Substitution

x = a sinθ, a tanθ, a secθ

8.4 Partial Fractions

แยก Rational Function เป็นเศษส่วนย่อย

8.5 Improper Integrals

∫ ถึง ∞ — Convergence & Divergence

แบบฝึกหัด

ทดสอบความเข้าใจ 8 ข้อ

เลือกเทคนิคอย่างไร?

LIATE — ลำดับเลือก u ใน IBP

Logarithm  ·  Inverse Trig
Algebraic (x, x², …)  ·  Trig
Exponential — เลือก u = ประเภทที่อยู่ก่อน

ดูรูปแบบ Integrand

มี xⁿ · eˣ, ln x, arctan → IBP
มี sin cos tan → Trig Integral
มี √(a²−x²) ฯลฯ → Trig Sub
เป็น P(x)/Q(x) → Partial Fractions

ภาพรวม — เทคนิคและสูตร

← Chapter VII: Transcendental Functions 1 / 7

8.1 Integration by Parts

สูตร Integration by Parts
∫ u dv = uv − ∫ v du

มาจาก Product Rule: d(uv) = u dv + v du → ∫u dv = uv − ∫v du

กฎ LIATE — เลือก u
L — Logarithm I — Inverse Trig A — Algebraic T — Trig E — Exponential

Integration by Parts — ตัวอย่างขั้นตอน

Tabular Method (Repeated IBP)

เมื่อต้องทำ IBP ซ้ำหลายรอบ

ตัวอย่าง: ∫x²eˣ dx
สร้างตาราง: column D (Differentiate u) | column I (Integrate dv)
x² | eˣ  ·  2x | eˣ  ·  2 | eˣ  ·  0 | eˣ
= (+) x²eˣ − (+) 2xeˣ + (+) 2eˣ + C = eˣ(x²−2x+2) + C

2 / 7

8.2 Trigonometric Integrals

∫ sinᵐ x cosⁿ x dx — กรณี m หรือ n คี่

ถ้า m คี่: แยก sin x ไว้หนึ่งตัว แปลง sin²→1−cos²
ถ้า n คี่: แยก cos x ไว้หนึ่งตัว แปลง cos²→1−sin²
ถ้าทั้งคู่คู่: ใช้ Half-Angle Identity

∫ tanᵐ x secⁿ x dx

ถ้า n คู่: แยก sec²x แปลง sec²→1+tan²
ถ้า m คี่: แยก sec x tan x แปลง tan²→sec²−1

Identity ที่ใช้บ่อย

Power-Reducing (Half-Angle)

sin²x = (1 − cos 2x) / 2
cos²x = (1 + cos 2x) / 2
sin x cos x = (1/2) sin 2x

Pythagorean

sin²x + cos²x = 1
1 + tan²x = sec²x
1 + cot²x = csc²x

Trig Integral — ขั้นตอนการแก้

3 / 7

8.3 Trigonometric Substitution

เมื่อ Integrand มีรูป
รูป Integrand Substitution Identity ที่ใช้ Range of θ
√(a²−x²) x = a sinθ 1−sin²θ = cos²θ −π/2 ≤ θ ≤ π/2
√(a²+x²) x = a tanθ 1+tan²θ = sec²θ −π/2 < θ < π/2
√(x²−a²) x = a secθ sec²θ−1 = tan²θ 0 ≤ θ < π/2

Right-Triangle Diagram & ตัวอย่างขั้นตอน

4 / 7

8.4 Partial Fractions

แนวคิด

แยก Rational Function P(x)/Q(x) (deg P < deg Q) เป็นผลรวมของ Simpler Fractions แล้วจึง Integrate

P(x)/Q(x) = A/(x−a) + B/(x−b) + …

รูปแบบของ Denominator

Linear factor (x−a)

ให้ A/(x−a)

Repeated linear (x−a)²

ให้ A/(x−a) + B/(x−a)²

Irreducible quadratic ax²+bx+c

ให้ (Ax+B)/(ax²+bx+c)

deg P ≥ deg Q → Long Division ก่อน

หาร P÷Q เพื่อให้เศษมี degree < Q ก่อน

Partial Fractions — ขั้นตอนละเอียด

5 / 7

8.5 Improper Integrals

Type I — Infinite Limit
∫a∞ f dx = limb→∞ ∫ab f dx

Converges ถ้า limit มีค่า finite

Type II — Discontinuous Integrand
∫ab f dx = limc→b⁻ ∫ac f dx

ใช้เมื่อ f ไม่ต่อเนื่องที่ขอบ

p-Integral Test
∫1∞ 1/xᵖ dx   converges iff   p > 1

p > 1 → converges to 1/(p−1)  ·  p ≤ 1 → diverges

ตัวอย่าง Converge

∫1∞ 1/x² dx = limb→∞ [−1/x]₁ᵇ
= limb→∞ (−1/b + 1) = 1

ตัวอย่าง Diverge

∫1∞ 1/x dx = limb→∞ [ln x]₁ᵇ
= limb→∞ ln b = +∞ (Diverges)

∫1b 1/xᵖ dx — เลื่อน b และ p เพื่อดู Convergence

p = b =

Comparison Test for Improper Integrals

Direct Comparison

ถ้า 0 ≤ f ≤ g บน [a,∞):
∫g converges → ∫f converges
∫f diverges → ∫g diverges

Limit Comparison

ถ้า limx→∞ f(x)/g(x) = L (0<L<∞)
แล้ว ∫f และ ∫g Converge/Diverge พร้อมกัน

6 / 7

แบบฝึกหัด — Chapter 8: Techniques of Integration

เลือกคำตอบที่ถูกต้อง — ระบบจะแสดงคำอธิบายทันที

7 / 7 Chapter IX: Sequences & Series →