Chapter IX  ›  Infinite Sequences & Series
S sidebar ← → navigate F fullscreen
Thomas Calculus · Chapter IX

Infinite Sequences & Series

ลำดับและอนุกรมอนันต์ — Convergence Tests, Power Series, Taylor & Maclaurin Series

9.1 Sequences

ลำดับ Convergence & Divergence

9.2 Infinite Series

Partial Sums & Geometric Series

9.3 Convergence Tests

Ratio, Root, Comparison, Integral Test

9.4 Power Series

Radius of Convergence, Interval of Convergence

9.5 Taylor & Maclaurin

Polynomial Approximation ของ Functions

แบบฝึกหัด

ทดสอบความเข้าใจ 8 ข้อ

แนวคิดหลัก

Sequence vs Series

Sequence: a₁, a₂, a₃, … — ลำดับของตัวเลข
Series: S = a₁ + a₂ + a₃ + … = Σaₙ
Series = limit of partial sums Sₙ = Σₖ₌₁ⁿ aₖ

Power & Taylor Series

Power Series: Σcₙ(x−a)ⁿ
Taylor: f(x) = Σf⁽ⁿ⁾(a)/n! · (x−a)ⁿ
Maclaurin: Taylor ที่ a=0

ภาพรวม — Partial Sums ของ Geometric Series เข้าหา Limit

← Chapter VIII: Techniques of Integration 1 / 7

9.1 Sequences

นิยาม — Convergence of a Sequence
limn→∞ an = L

ถ้า limit L มีค่า finite → Sequence Converges
ถ้า limit ไม่มีค่า หรือ ±∞ → Sequence Diverges

Squeeze Theorem for Sequences

ถ้า aₙ ≤ bₙ ≤ cₙ สำหรับ n ≥ N
และ lim aₙ = lim cₙ = L
แล้ว lim bₙ = L

Monotone Convergence Theorem

Sequence ที่ Bounded และ Monotone
(เพิ่มขึ้นหรือลดลงเสมอ) ต้อง Converge
→ ไม่จำเป็นต้องหา limit ก่อน

Sequence Visualizer — เลือกลำดับ, เลื่อน N เพื่อดู Convergence

N =
2 / 7

9.2 Infinite Series

นิยาม — Infinite Series
Σn=1∞ an = limN→∞ SN = limN→∞ Σn=1N an

Converges ถ้า limit ของ Partial Sums มีค่า finite · Diverges ถ้าไม่มี

Geometric Series
Σ arⁿ = a/(1−r)   (|r| < 1)

|r| ≥ 1 → Diverges  ·  r คือ common ratio

Test for Divergence

ถ้า lim aₙ ≠ 0 → Series Diverges
แต่ lim aₙ = 0 ไม่ได้รับประกัน Convergence
(เช่น Harmonic Series Σ1/n Diverges)

Telescoping Series

Σ [1/n − 1/(n+1)] = 1 − limn→∞ 1/(n+1) = 1
ตัวกลางหักล้างกันหมด เหลือแต่ต้นและท้าย

p-Series

Σ 1/nᵖ : Converges iff p > 1
p=2: Σ1/n² = π²/6 (Basel Problem)
p=1: Harmonic Series → Diverges

Partial Sums SN — เลือก Series & เลื่อน N

N =
3 / 7

9.3 Convergence Tests

Test Condition Conclusion
Divergence Test lim aₙ ≠ 0 Diverges
Integral Test f(x) ≥ 0, decreasing. ∫₁^∞ f dx Same convergence as series
Comparison Test 0 ≤ aₙ ≤ bₙ ∑bₙ conv. → ∑aₙ conv.
∑aₙ div. → ∑bₙ div.
Limit Comparison lim aₙ/bₙ = L (0<L<∞) ∑aₙ & ∑bₙ same behavior
Ratio Test L = lim |aₙ₊₁/aₙ| L<1 conv · L>1 div · L=1 inconclusive
Root Test L = lim |aₙ|^(1/n) L<1 conv · L>1 div · L=1 inconclusive
Alternating Series bₙ → 0, bₙ decreasing ∑(−1)ⁿbₙ Converges

Convergence Tests — ตัวอย่างและ Visual

4 / 7

9.4 Power Series

นิยาม — Power Series
Σn=0∞ cn(x−a)ⁿ = c₀ + c₁(x−a) + c₂(x−a)² + …

a = center · Converges สำหรับ |x−a| < R (Radius of Convergence)

Radius of Convergence R

หา R จาก Ratio Test:
R = lim |cₙ/cₙ₊₁| (ถ้า limit นี้มีค่า)
R = 0: Converges เฉพาะที่ x=a
R = ∞: Converges ทุก x

Operations on Power Series

Differentiate term-by-term ได้ใน |x−a|<R
Integrate term-by-term ได้ใน |x−a|<R
Multiply & divide สองอนุกรมได้

Geometric Power Series

1/(1−x) = Σ xⁿ   |x| < 1
1/(1+x) = Σ (−1)ⁿxⁿ   |x| < 1
ln(1+x) = Σ (−1)ⁿ⁺¹ xⁿ/n   |x| < 1

ตัวอย่าง — หา R

Σ xⁿ/n! : R = lim (n+1) = ∞
Σ n!xⁿ : R = lim 1/(n+1) = 0
Σ xⁿ/n : R = 1 (IOC: [−1,1))

Power Series Approximation — N terms ของ Σ cₙxⁿ

N =
5 / 7

9.5 Taylor and Maclaurin Series

Taylor Series ของ f รอบจุด a
f(x) = Σn=0∞ f(n)(a)/n! · (x−a)ⁿ

Maclaurin Series = Taylor ที่ a = 0

Maclaurin Series สำคัญ

eˣ = Σ xⁿ/n!  (R=∞)

= 1 + x + x²/2! + x³/3! + x⁴/4! + …

sin x = Σ (−1)ⁿ x^(2n+1)/(2n+1)!  (R=∞)

= x − x³/6 + x⁵/120 − x⁷/5040 + …

cos x = Σ (−1)ⁿ x^(2n)/(2n)!  (R=∞)

= 1 − x²/2 + x⁴/24 − x⁶/720 + …

1/(1−x) = Σ xⁿ  (|x|<1)

= 1 + x + x² + x³ + x⁴ + …

Taylor Remainder (Error Bound)
|Rₙ(x)| ≤ M|x−a|n+1 / (n+1)!

M = max |f^(n+1)| บน interval ที่สนใจ

Taylor Polynomial — เพิ่ม degree N เพื่อดู Approximation ดีขึ้น

Degree N =
6 / 7

แบบฝึกหัด — Chapter 9: Infinite Sequences & Series

เลือกคำตอบที่ถูกต้อง — ระบบจะแสดงคำอธิบายทันที

7 / 7 Chapter X: Parametric & Polar →