3.1 Tangent Lines & the Derivative
นิยามของ Derivative
Derivative ของฟังก์ชัน f ที่จุด x = a คือ:
f'(a) = limh→0 [f(a+h) − f(a)] / h
ซึ่งก็คือ ความชันของเส้นสัมผัส (tangent line) ที่จุด (a, f(a)) นั่นเอง
เส้นสัมผัส vs เส้นตัด (Secant)
เส้นตัด (Secant Line)
ลากผ่าน 2 จุดบนกราฟ: (a, f(a)) และ (a+h, f(a+h))
msec = [f(a+h) − f(a)] / h
เมื่อ h → 0 เส้นตัดจะกลายเป็นเส้นสัมผัส
เส้นสัมผัส (Tangent Line)
ความชัน = f'(a), สมการเส้นสัมผัส:
y − f(a) = f'(a)(x − a)
บอกอัตราการเปลี่ยนแปลงทันที ณ จุด a
ตัวอย่าง: f(x) = x²
หา f'(2) โดยใช้นิยาม:
f'(2) = limh→0 [(2+h)² − 4] / h
= limh→0 [4 + 4h + h² − 4] / h
= limh→0 [4h + h²] / h = limh→0 (4 + h)
= 4
สมการเส้นสัมผัสที่ x=2: y − 4 = 4(x − 2) → y = 4x − 4
3.2 กฎการหา Derivative
Constant Rule
d/dx [c] = 0
d/dx [5] = 0
Power Rule
d/dx [xⁿ] = nxⁿ⁻¹
d/dx [x⁴] = 4x³
Constant Multiple
d/dx [cf] = c·f'
d/dx [3x²] = 6x
Sum / Difference
d/dx [f±g] = f'±g'
d/dx [x³+x] = 3x²+1
Product Rule
d/dx [fg] = f'g + fg'
d/dx [x²·sin x] = 2x·sin x + x²·cos x
Quotient Rule
d/dx [f/g] = (f'g − fg') / g²
d/dx [sin x / x] = (x·cos x − sin x) / x²
ตัวอย่างแบบฝึก
หา f'(x) เมื่อ f(x) = 3x⁴ − 5x² + 7
f'(x) = 12x³ − 10x
ใช้ Power Rule ทีละเทอม: d/dx[3x⁴]=12x³, d/dx[5x²]=10x, d/dx[7]=0
หา g'(x) เมื่อ g(x) = x³·eˣ
g'(x) = 3x²·eˣ + x³·eˣ = eˣ(x³ + 3x²)
ใช้ Product Rule: (x³)' = 3x², (eˣ)' = eˣ
หา h'(x) เมื่อ h(x) = (x² + 1) / (x − 1)
h'(x) = [2x(x−1) − (x²+1)·1] / (x−1)² = (x² − 2x − 1) / (x−1)²
ใช้ Quotient Rule: f=x²+1, g=x−1, f'=2x, g'=1
3.3 อนุพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
| f(x) | f'(x) | หมายเหตุ |
|---|
| sin x | cos x | พื้นฐาน |
| cos x | −sin x | พื้นฐาน |
| tan x | sec² x | = sin x/cos x |
| cot x | −csc² x | = cos x/sin x |
| sec x | sec x · tan x | = 1/cos x |
| csc x | −csc x · cot x | = 1/sin x |
การพิสูจน์ d/dx[sin x] = cos x
limh→0 [sin(x+h) − sin x] / h
= limh→0 [sin x·cos h + cos x·sin h − sin x] / h
= sin x · limh→0 [(cos h−1)/h] + cos x · limh→0 [sin h/h]
= sin x · 0 + cos x · 1 = cos x ✓
ตัวอย่าง
หา d/dx[x²·sin x] (Product Rule + Trig)
= (x²)'·sin x + x²·(sin x)'
= 2x·sin x + x²·cos x
หา d/dx[sin²x] (เขียนใหม่ก่อน)
= d/dx[(sin x)²] = 2 sin x · cos x
= sin 2x
3.4 Chain Rule
Chain Rule (กฎลูกโซ่)
ถ้า y = f(g(x)) แล้ว:
dy/dx = f'(g(x)) · g'(x)
หรือในรูป Leibniz: dy/dx = (dy/du)·(du/dx) โดยที่ u = g(x)
วิธีจำ: "อนุพันธ์ภายนอก × อนุพันธ์ภายใน"
ขั้นตอน
1. ระบุ outer function f และ inner function g
2. หา f'(g(x)) — อนุพันธ์ภายนอก (คงรูปภายใน)
3. คูณด้วย g'(x) — อนุพันธ์ภายใน
ตัวอย่าง: (sin x)⁵
outer: u⁵, inner: u = sin x
f'(g(x)) = 5(sin x)⁴
g'(x) = cos x
→ 5 sin⁴x · cos x
ตัวอย่างเพิ่มเติม
y = (3x²+1)⁴
y' = 4(3x²+1)³ · 6x
= 24x(3x²+1)³
y = sin(x³)
y' = cos(x³) · 3x²
= 3x²cos(x³)
y = e^(2x)
y' = e^(2x) · 2
= 2e^(2x)
y = √(x²+1)
y' = ½(x²+1)^(−½) · 2x
= x/√(x²+1)
y = ln(cos x)
y' = (1/cos x) · (−sin x)
= −tan x
y = tan(x²+x)
y' = sec²(x²+x) · (2x+1)
= (2x+1)sec²(x²+x)
3.5 Implicit Differentiation
เมื่อไรใช้ Implicit Differentiation?
เมื่อสมการกำหนด y ในรูป implicit เช่น x² + y² = 25 ซึ่งยากจะแก้หา y ชัดเจน
วิธี: หา derivative ของทุกเทอมตามตัวแปร x โดยใช้ Chain Rule เมื่อพบ y
d/dx[y²] = 2y · dy/dx
ตัวอย่างที่ 1: วงกลม x² + y² = 25
d/dx[x²] + d/dx[y²] = d/dx[25]
2x + 2y·(dy/dx) = 0
2y·(dy/dx) = −2x
dy/dx = −x/y
ที่จุด (3, 4): dy/dx = −3/4 → เส้นสัมผัส: y − 4 = −¾(x − 3)
ตัวอย่างที่ 2: x³ + y³ = 6xy (Folium of Descartes)
3x² + 3y²·(dy/dx) = 6y + 6x·(dy/dx)
3y²·(dy/dx) − 6x·(dy/dx) = 6y − 3x²
(dy/dx)(3y² − 6x) = 6y − 3x²
dy/dx = (6y − 3x²) / (3y² − 6x) = (2y − x²) / (y² − 2x)
วงกลม x²+y²=25 พร้อมเส้นสัมผัสที่ (3,4)
Derivative Calculator
เลือกฟังก์ชันและดูอนุพันธ์พร้อมกราฟ
f(x) = x²
f'(x) = 2x
กฎที่ใช้: Power Rule
แบบฝึกหัด Chapter III