Applications of Derivatives
ใช้ Derivative วิเคราะห์กราฟ หาค่าสูงสุด-ต่ำสุด แก้ปัญหา Optimization และประมาณค่า Root
4.1 Extreme Values
Global & Local Max/Min, Critical Points
4.2 Mean Value Theorem
Slope ของ Secant = Slope ของ Tangent ที่จุด c
4.3 First Derivative Test
f' เปลี่ยนเครื่องหมาย → Extremum
4.4 Concavity & Sketching
f'' บอก Concave Up/Down และ Inflection Point
4.5 L'Hôpital's Rule
แก้ปัญหา 0/0 และ ∞/∞
4.6 Newton's Method
หา Root ด้วย Tangent Line iteration
แบบฝึกหัด
ทดสอบความเข้าใจ 8 ข้อ
Derivative บอกอะไรเกี่ยวกับกราฟ?
- f' > 0 → f เพิ่ม
- f' < 0 → f ลด
- f' = 0 หรือ DNE → Critical Point
- f' เปลี่ยนเครื่องหมาย → Local Extremum
- f'' > 0 → Concave Up ∪
- f'' < 0 → Concave Down ∩
- f'' = 0 และเปลี่ยนเครื่องหมาย → Inflection Point
- f'(c)=0 & f''(c)>0 → Local Min ✓
ภาพรวม — กราฟ f(x) และสิ่งที่ Derivative บอก
4.1 Extreme Values of Functions
f(c) เป็น Absolute Max ถ้า f(c) ≥ f(x) สำหรับทุก x ใน Domain
f(c) เป็น Absolute Min ถ้า f(c) ≤ f(x) สำหรับทุก x
f(c) เป็น Local Max/Min ถ้า f(c) เป็น max/min ใน บริเวณใกล้เคียง c เท่านั้น
ถ้า f ต่อเนื่องบน [a, b] แล้ว f ต้องมี Absolute Max และ Absolute Min บน [a, b]
c เป็น Critical Point ของ f ถ้า f'(c) = 0 หรือ f'(c) ไม่มีค่า
Extremum ภายใน (ไม่ใช่ขอบ) ต้องเป็น Critical Point — แต่ไม่ใช่ทุก Critical Point เป็น Extremum
Closed Interval Method — หา Absolute Extrema
- หา Critical Points ของ f ใน (a, b)
- คำนวณ f ที่ Critical Points ทุกจุด
- คำนวณ f ที่ขอบ: f(a) และ f(b)
- ค่าที่มากสุด = Absolute Max, ค่าที่น้อยสุด = Absolute Min
Extreme Values บน [a, b] — เลื่อน slider เพื่อเปลี่ยนฟังก์ชัน
4.2 The Mean Value Theorem
ถ้า f ต่อเนื่องบน [a,b] และ differentiable บน (a,b) แล้ว มี c ∈ (a,b) ที่:
Slope ของ Tangent ที่ c = Slope ของ Secant จาก a ถึง b
ความหมายทางกายภาพ
ถ้าขับรถ 200 กม. ใน 2 ชม. → ความเร็วเฉลี่ย 100 กม./ชม.
MVT รับประกัน: มีจุดหนึ่งที่ความเร็วทันทีเป็น 100 กม./ชม. พอดี
ถ้า f(a) = f(b) → มี c ที่ f'(c) = 0 (Tangent แนวนอน)
เลื่อน slider เพื่อหาจุด c ที่ f'(c) = slope ของ Secant
4.3 Monotonic Functions & First Derivative Test
- f' > 0 บน (a,b) → f เพิ่มบน (a,b)
- f' < 0 บน (a,b) → f ลดบน (a,b)
- f' เปลี่ยน + → − ที่ c → Local Max
- f' เปลี่ยน − → + ที่ c → Local Min
- f' ไม่เปลี่ยนเครื่องหมาย → ไม่ใช่ Extremum
กราฟ f(x) และ f'(x) — สีแสดงช่วง Increasing/Decreasing
Sign Chart ของ f'
4.4 Concavity and Curve Sketching
f'' > 0 บน (a,b) → กราฟโค้งขึ้น
Tangent Line อยู่ใต้กราฟ
f'' < 0 บน (a,b) → กราฟโค้งลง
Tangent Line อยู่เหนือกราฟ
จุดที่ f'' เปลี่ยนเครื่องหมาย — กราฟเปลี่ยนจาก Concave Up เป็น Down หรือในทางกลับกัน
แสดง f, f', f'' พร้อมกัน — เลือกฟังก์ชัน
4.5 Indeterminate Forms & L'Hôpital's Rule
ถ้า lim f(x)/g(x) อยู่ในรูป 0/0 หรือ ∞/∞ แล้ว:
ใช้ได้ซ้ำหลายรอบจนกว่าจะได้คำตอบที่ไม่ใช่ Indeterminate form
Indeterminate Forms ทั้งหมด
รูป 0·∞, ∞−∞, 0⁰, ∞⁰, 1∞ ต้องแปลงให้เป็น 0/0 หรือ ∞/∞ ก่อน
ตัวอย่าง L'Hôpital — ดูขั้นตอนทีละขั้น
ตาราง: รูปมาตรฐาน
| Limit | รูป | วิธี | คำตอบ |
|---|---|---|---|
| limx→0 sin(x)/x | 0/0 | L'Hôpital: cos(x)/1 | 1 |
| limx→0 (eˣ−1)/x | 0/0 | L'Hôpital: eˣ/1 | 1 |
| limx→∞ ln(x)/x | ∞/∞ | L'Hôpital: (1/x)/1 | 0 |
| limx→0⁺ x·ln(x) | 0·∞ | = ln(x)/(1/x) → L'Hôpital | 0 |
| limx→∞ xⁿ/eˣ | ∞/∞ | L'Hôpital n ครั้ง | 0 |
4.6 Newton's Method
เริ่มจาก x₀ (ค่าเดา) วนซ้ำด้วย:
ลาก Tangent ที่ xₙ แล้วหาจุดตัดแกน x → ได้ xₙ₊₁ ที่ใกล้ root กว่าเดิม
Newton's Method — กด Next Step เพื่อดู Iteration ถัดไป
ข้อควรระวัง
- f'(xₙ) = 0 → Tangent แนวนอน, ไม่ตัดแกน x
- x₀ อยู่ไกล root มาก → อาจ diverge
- มีหลาย root → อาจ converge ผิดจุด
Newton's Method มี Quadratic Convergence
ทุก iteration จำนวน decimal ที่ถูกต้องจะเพิ่มเป็น 2 เท่า